[Circuit] OP Amp Feedback 推導

電路知識：OP Amp
電子學 交大電子物理系 陳振芳教授

簡介：證明負回授導致虛短路

Vout=(V+−V−)⋅Ao
理想運算放大器的特性：
  • A→∞
  • Rin→∞
  • BW→∞
  • Rout→0

Non-inverting 架構：
證明
V+=ViV−=Vo⋅R1R1+R2Vo=(V+−V−)⋅A=(Vi−Vo⋅R1R1+R2)⋅A(1+R1⋅AR1+R2)Vo=AViVoVi=A1+R1⋅AR1+R2limA→∞VoVi=R1+R2R1limA→∞V−=Vo⋅R1R1+R2=R1+R2R1Vi⋅R1R1+R2=Vi=V+
若 A 有限呢？即可反求 V−
Known{V+=ViVo=(V+−V−)⋅AV−=V+⋅A−VoA=Vi⋅A−VoAV−R1=VoR1+R2Vi⋅A−VoAR1=VoR1+R2(R1+R2)(ViA−Vo)=AR1VoA(R1+R2)Vi=[AR1+(R1+R2)]VoVoVi=A(R1+R2)AR1+(R1+R2)=R1+R2R1+R1+R2A=R1+R2R11+R1+R2R1A=R1+R2R11+1+R2R1A
若 A ≫1+R2R1 成立 R1+R2R1 ⇒ 得證虛短路

為何保證一定收斂呢？若從 Vo⇒V− 一步一步求
Known{V+=ViVo=(V+−V−)⋅AV−=V+⋅A−VoA=Vi⋅A−VoA=Vi−VoA t=0⇒Vo,t=0=Vo,t=0Vt=0−=Vi−Vo,t=0At=1⇒Vo,t=1=Vt=0−+Vt=0−R1⋅R2=Vi−Vo,t=0A+Vi−Vo,t=0AR1⋅R2=Vi−Vo,t=0A+Vi−Vo,t=0AR1⋅R2=Vi(1+R2R1)−Vo,t=0(1A+1AR1⋅R2)=Vi(1+R2R1)−Vo,t=0(1+R2R1)AVt=1−=Vi−Vo,t=1A=Vi−Vi(1+R2R1)−Vo,t=0(1+R2R1)AAt=2⇒Vo,t=2=Vt=1−+Vt=1−R1⋅R2=Vi(1+R2R1)−Vo,t=1(1+R2R1)A=Vi(1+R2R1)−[Vi(1+R2R1)−Vo,t=0(1+R2R1)A](1+R2R1)AVt=2−=Vi−Vo,t=2A=Vi−Vi(1+R2R1)−[Vi(1+R2R1)−Vo,t=0(1+R2R1)A](1+R2R1)AA ⋮
若 A ≫1+R2R1 ⇒ 得證虛短路

但這個推導是有問題的，因為不符合實際情況
感覺上就像是有了 Vo 然後反向操作 OP，才有了 V−

那若從 V−⇒Vo 推導呢？
Known{V+=ViVo=(V+−V−)⋅AVo=(V+−V−)⋅A=(Vi−V−)⋅A t=0⇒Vt=0−=Vt=0−Vo,t=0=(Vi−Vt=0−)⋅At=1⇒Vt=1−=Vo,t=0R1R1+R2Vo,t=1=(Vi−Vt=1−)⋅A=(Vi−Vo,t=0R1R1+R2)⋅At=2⇒Vt=2−=Vo,t=1R1R1+R2Vo,t=2=(Vi−Vt=2−)⋅A=(Vi−Vo,t=1R1R1+R2)⋅A=[Vi−(Vi−Vo,t=0R1R1+R2)⋅A⋅R1R1+R2]⋅A=Vi⋅A(1−AR1R1+R2)+Vo,t=0⋅A2(R1R1+R2)2 若是照以上推導，會出現來來回回振盪，永不收斂。
為何？
因電阻的分壓反應時間遠小於 OP 的反應輸出
當 Vo 有一些些變化時，V− 會立即隨之變化

為何從 V−⇒Vo 推導看起來會正確的原因？
因為等同於求當下的真實狀態，什麼樣的 V− 會造成目前的 Vo
然後這個 V− 又會立即反應在 Vo 上

正確推導如下 t=0⇒Vt=0−=Vt=0−Vo,t=0=Vo,t=0t=0+⇒Vo,t=0+=Vo,t=0+△[(Vi−Vt=0−)⋅A]Vt=0+−=Vo,t=0+R1R1+R2={Vo,t=0+△[(Vi−Vt=0−)⋅A]}R1R1+R2t=0++⇒Vo,t=0++=Vo,t=0++△[(Vi−Vt=0+−)⋅A]={Vo,t=0+△[(Vi−Vt=0−)⋅A]}+△[(Vi−{Vo,t=0+△[(Vi−Vt=0−)⋅A]}R1R1+R2)⋅A]Vt=0++−=Vo,t=0++R1R1+R2=R1R1+R2{{Vo,t=0+△[(Vi−Vt=0−)⋅A]}+△[(Vi−{Vo,t=0+△[(Vi−Vt=0−)⋅A]}R1R1+R2)⋅A]} 將以上 △ 的部分，全簡化為 △ t=0⇒Vt=0−=Vt=0−Vo,t=0=Vo,t=0t=0+⇒Vo,t=0+=Vo,t=0+△Vt=0+−=Vo,t=0+R1R1+R2={Vo,t=0+△}R1R1+R2t=0++⇒Vo,t=0++=Vo,t=0++△={Vo,t=0+△}+△Vt=0++−=Vo,t=0++R1R1+R2={{Vo,t=0+△}+△}R1R1+R2 從以上式子，大概可以看出 V− 會隨著 Vo 連動
Vo 上升 V− 也上升； Vo 下降 V− 也下降
直到穩定平衡

簡單模擬 by R
  1. # 電路條件
  2. vi = 5
  3. r1 = 10
  4. r2 = 10
  5. A = 1000
  6.  
  7. # 初始值
  8. v_ = 0
  9. vo = 0
  10.  
  11. # 記錄
  12. r_V_ = c()
  13. r_Vo = c()
  14.  
  15. # 設定 step and 上升多少等份電壓
  16. n = 1000
  17. div = 10000
  18.  
  19. for(i in 1:n)
  20. {
  21.   vo = vo + A*(vi-v_)/div
  22.   r_V_ = c(r_V_, v_)
  23.   r_Vo = c(r_Vo, vo)
  24.   v_ = vo/(r1+r2) * r1
  25. }
  26.  
  27. plot(r_Vo, col="red", type="l",ylab="V", ylim = c(0,15))
  28. lines(r_V_, col="green")
  29. legend('topright', c('Vo','V-'), lty=1, col=c('red', 'green'), bty='n', cex=.75)

Inverting 架構：
證明
V+=0V−=Vi+(Vo−Vi)R1+R2R1Vo=(V+−V−)⋅A={0−[Vi+(Vo−Vi)⋅R1R1+R2]}⋅A=(Vi−Vo)⋅R1⋅AR1+R2−Vi⋅A=Vi(R1⋅AR1+R2−A)−VoR1⋅AR1+R2(1+R1⋅AR1+R2)Vo=(R1⋅AR1+R2−A)ViVoVi=R1⋅AR1+R2−A1+R1⋅AR1+R2limA→∞VoVi=R1R1+R2−1R1R1+R2=−R2R1limA→∞V−=Vi+(Vo−Vi)R1+R2R1=Vi+(−R2R1Vi−Vi)R1+R2R1=Vi+−R2Vi−R1ViR1+R2=Vi−Vi=0=V+
若 A 有限呢？即可反求 V−
Known{V+=0Vo=(V+−V−)⋅AV−=V+⋅A−VoA=−VoAVi−V−R1=V−−VoR2Vi−−VoAR1=−VoA−VoR2ViR2+VoAR2=−VoAR1−VoR1R2Vi=−(R1+R2A+R1)VoVoVi=R2−(R1+R2A+R1)=−R2R1(R1+R2R1A+1)=−R2R1(1+R2R1A+1)
若 A ≫(1+R2R1) 成立 −R2R1 ⇒ 得證虛短路

為何保證一定收斂呢？若從 Vo⇒V−，一步一步求
Known{V+=0Vo=(V+−V−)⋅AV−=V+⋅A−VoA=−VoA t=0⇒Vo,t=0=Vo,t=0Vt=0−=−Vo,t=0At=1⇒Vo,t=1=Vt=0−+Vt=0−−ViR1⋅R2=−Vo,t=0A+−Vo,t=0A−ViR1⋅R2=−ViR2R1−Vo,t=0(1A+1AR1⋅R2)=−ViR2R1−Vo,t=0(1+R2R1)AVt=1−=−Vo,t=1A=−−ViR2R1−Vo,t=0(1+R2R1)AAt=2⇒Vo,t=2=Vt=1−+Vt=1−R1⋅R2=−ViR2R1−Vo,t=1(1+R2R1)A=−ViR2R1−[−ViR2R1−Vo,t=0(1+R2R1)A](1+R2R1)AVt=2−=−Vo,t=2A=−−ViR2R1−[−ViR2R1−Vo,t=0(1+R2R1)A](1+R2R1)AA ⋮
若 A ≫1+R2R1 ⇒ 得證虛短路

但這個推導是有問題的，因為不符合實際情況
感覺上就像是有了 Vo 然後反向操作 OP，才有了 V−

那若從 V−⇒Vo 推導呢？
t=0⇒Vt=0−=Vt=0−Vo,t=0=(0−Vt=0−)⋅A=−Vt=0−⋅At=1⇒Vt=1−=Vi+(Vo,t=0−Vi)R1R1+R2=Vi(1−R1R1+R2)+Vo,t=0R1R1+R2Vo,t=1=−Vt=1−⋅A=−[Vi(1−R1R1+R2)+Vo,t=0R1R1+R2]⋅At=2⇒Vt=2−=Vi(1−R1R1+R2)+Vo,t=1R1R1+R2=Vi(1−R1R1+R2)+{−[Vi(1−R1R1+R2)+Vo,t=0R1R1+R2]⋅A}R1R1+R2Vo,t=2=−Vt=2−⋅A=−{Vi(1−R1R1+R2)+{−[Vi(1−R1R1+R2)+Vo,t=0R1R1+R2]⋅A}R1R1+R2}⋅A 若是照以上推導，會出現來來回回振盪，永不收斂。
為何？
因電阻的分壓反應時間遠小於 OP 的反應輸出
當 Vo 有一些些變化時，V− 會立即隨之變化

為何從 V−⇒Vo 推導看起來會正確的原因？
因為等同於求當下的真實狀態，什麼樣的 V− 會造成目前的 Vo
然後這個 V− 又會立即反應在 Vo 上

正確推導如下 t=0⇒Vt=0−=Vt=0−Vo,t=0=Vo,t=0t=0+⇒Vo,t=0+=Vo,t=0+△[(0−Vt=0−)⋅A]Vt=0+−=Vi+(Vo,t=0+−Vi)R1R1+R2=Vi(1−R1R1+R2)+Vo,t=0+R1R1+R2=Vi(1−R1R1+R2)+{Vo,t=0+△[(0−Vt=0−)⋅A]}R1R1+R2t=0++⇒Vo,t=0++=Vo,t=0++△[(0−Vt=0+−)⋅A]={Vo,t=0+△[(0−Vt=0−)⋅A]}+△[(0−{Vi(1−R1R1+R2)+{Vo,t=0+△[(0−Vt=0−)⋅A]}R1R1+R2})⋅A]Vt=0++−=Vi(1−R1R1+R2)+Vo,t=0++R1R1+R2=Vi(1−R1R1+R2)+{{Vo,t=0+△[(0−Vt=0−)⋅A]}+△[(0−{Vi(1−R1R1+R2)+{Vo,t=0+△[(0−Vt=0−)⋅A]}R1R1+R2})⋅A]}R1R1+R2 將以上 △ 的部分，全簡化為 △ t=0⇒Vt=0−=Vt=0−Vo,t=0=Vo,t=0t=0+⇒Vo,t=0+=Vo,t=0+△Vt=0+−=Vi(1−R1R1+R2)+{Vo,t=0+△}R1R1+R2t=0++⇒Vo,t=0++={Vo,t=0+△}+△Vt=0++−=Vi(1−R1R1+R2)+{{Vo,t=0+△}+△}R1R1+R2 從以上式子，大概可以看出 V− 會隨著 Vo 連動
Vo 上升 V− 也上升； Vo 下降 V− 也下降
直到穩定平衡

簡單模擬 by R
  1. # 電路條件
  2. vi = 5
  3. r1 = 10
  4. r2 = 10
  5. A = 1000
  6.  
  7. # 初始值
  8. v_ = 0
  9. vo = 0
  10.  
  11. # 記錄
  12. r_V_ = c()
  13. r_Vo = c()
  14.  
  15. # 設定 step and 上升多少等份電壓
  16. n = 1000
  17. div = 10000
  18.  
  19. for(i in 1:n)
  20. {
  21.   vo = vo + A*(0-v_)/div
  22.   r_V_ = c(r_V_, v_)
  23.   r_Vo = c(r_Vo, vo)
  24.   v_ = vi+(vo-vi)/(r1+r2) * r1
  25. }
  26.  
  27. plot(r_Vo, col="red", type="l",ylab="V", ylim = c(-10,10))
  28. lines(r_V_, col="green")
  29. legend('topright', c('Vo','V-'), lty=1, col=c('red', 'green'), bty='n', cex=.75)

其餘類似電路，皆可用 Superposition 加上以上兩個基本電路得證虛短路

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