[Circuit] Snubber 平均功率推導

電路知識：Snubber 平均功率推導
工具：Qucs
線上模擬

簡介：Snubber 平均功率推導

$$ \begin{align*} \mathbf{Z}&=R+\frac{1}{jwC}\\ &=R-\frac{j}{wC}\\ &=\sqrt{R^2+(\frac{1}{wC})^2}\angle-tan^{-1}\frac{1}{wRC}\\ \mathbf{V}&=V\angle 0\\ \mathbf{I}&=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}}\\ &=\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{wC})^2}}\angle tan^{-1}\frac{1}{wRC}\\ P&=\frac{1}{2}|\mathbf{I}|^2R=\frac{1}{2}\frac{V^2}{R^2+(\frac{1}{wC})^2}R \end{align*} $$

若電壓來源非 Sinusoidal，可參考此篇計算之
[Circuit] 平均功率

範例

弦波

從上圖得知平均功率為 \(0.4876W\)，用圖中的 \(I_{rms}\) 計算 \(|I_{rms}|^2R\)，也是同樣的結果
但若用 \(P=CV^2f=1W\) 則完全超估，所以並不能如此計算

推導過程

$$ \begin{align*} v(t)&= sin(wt) = cos(wt-\frac{\pi}{2})\\ \mathbf{V}&=1\angle -\frac{\pi}{2}\\ \mathbf{Z}&=1+\frac{1}{j2\pi*1M*1u}\\ &=1-j\frac{1}{2\pi}\\ &\approx 1.013\angle -0.158\\ P&=\frac{1}{2}\left |\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}} \right |^2R\\ &=\frac{1}{2}(\frac{1}{1.013})^2\\ &=0.4872 \end{align*} $$

程式模擬結果

import cmath

n = 1000
f = 1e6
C = 1e-6
p = 0

# Z=R+jwC
Z = 1+1/(1j*2*cmath.pi*f*C)

v = cmath.rect(1, -cmath.pi/2)
i = v/Z
p += (1/2 * abs(i)**2 * Z.real)
    
print(p)
# 0.4876477384840711

方波 I

從上圖得知平均功率為 \(0.97942W\)，用圖中的 \(I_{rms}\) 計算 \(|I_{rms}|^2R\)，也是同樣的結果
但若用 \(P=CV^2f=1W\) 看似可以，但實際還是不行，請看接下來的例子

推導過程

$$ \require{enclose} \begin{align*} v_{square}(t)&= \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{sin(w(2k-1)t)}{2k-1}\\ &= \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{cos(w(2k-1)t-\frac{\pi}{2})}{2k-1}\\ \mathbf{V_{square}} &= \sum_{k=1}^{\infty }\mathbf{V_{k,w(2k-1)}}\\ \mathbf{V_{k,w(2k-1)}} &= \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1\enclose{phasorangle}{ -\frac{\pi}{2}}}{2k-1}\\ \\ \mathbf{Z_k}&=1+\frac{1}{j2\pi*f*(2k-1)*C}\\ &=1+\frac{1}{j2\pi*1e^6*(2k-1)*1e^{-6}}\\ &=1+\frac{1}{j2\pi(2k-1)}\\ &=1+j\frac{-1}{2\pi(2k-1)}\\ &=\sqrt{1+(\frac{-1}{2\pi*(2k-1)})^2}\enclose{phasorangle}{ tan^{-1}\frac{-1}{2\pi*(2k-1)}}\\ P&=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }\left |\frac{\mathbf{V_k}}{\mathbf{Z_k}} \right |^2R\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }(\frac{\frac{4}{\pi}\frac{1}{2k-1}}{\sqrt{1+(\frac{-1}{2\pi(2k-1)})^2}})^2\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(\frac{4}{\pi}\frac{1}{2k-1})^2}{1+(\frac{-1}{2\pi(2k-1)})^2}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\frac{16}{\pi^2}\frac{1}{(2k-1)^2}}{1+\frac{1}{4\pi^2(2k-1)^2}}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{64}{4\pi^2(2k-1)^2+1}\\ &\approx \frac{1}{2} \times 1.959345\\ &= 0.9796725 \end{align*} $$

程式模擬結果

import cmath

n = 100000
f = 1e6
C = 1e-6
p_i2R = 0
p_V2R = 0

for k in range(1,n):
    # Z=R+jwC
    Z = 1+1/(1j*2*cmath.pi*f*(2*k-1)*C)
    v = 4/cmath.pi * cmath.rect(1, -cmath.pi/2)/(2*k-1)
    i = v/Z
    p_i2R += (1/2 * abs(i)**2 * Z.real)
    
    v = (4/cmath.pi * cmath.rect(1, -cmath.pi/2)/(2*k-1)) / Z * Z.real
    
    p_V2R += (1/2 * abs(v)**2/Z.real)
    
print('i^2R=', p_i2R)
print('V^2/R=', p_V2R)
# 0.9796726231709146

方波 II

將電容大小改為 0.1uF，平均功率為 \(0.39382W\)
但 \(P=CV^2f=0.1W\) 完全低估，所以並不能如此計算
推導過程 與 程式模擬 與上面的例子相同，就不再贅述