[Circuit] 電路暫態分析

電路知識：電路暫態分析
工具：Qucs
Online Transform

功能：分析電路的暫態

Laplace Transform

$$\begin{array}{rl}s& =\sigma +jw\\ \mathfrak{L}[f(t)]& =F(s)={\int }_{0^{-}}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt\\ \\ {\sigma }_1& >{\sigma }_c\\ {\mathfrak{L}}^{-1}[F(s)]& =f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{{\sigma }_1-j\mathrm{\infty }}^{{\sigma }_1+j\mathrm{\infty }}F(s)e^{st}ds\end{array}$$

電路的 Laplace Transform

性質和定理
拉普拉斯變換簡表

元件	Time domain	s-domain	Impedance (初始值為 0)
$R$	$v(t)=Ri(t)$	$V(s)=RI(s)$	$\mathbf{Z}=R$
$L$	$v(t)=L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$	$V(s)=sLI(s)-Li(0^{-})$	$\mathbf{Z}=sL$
$C$	$i(t)=C\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$	$V(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{v(0^{-})}{s}$	$\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{1}}{sC}$

電路表示如下

範例

假設初始值皆為 0

推導
反轉換可用 Online Transform 協助

$$\begin{array}{rl}in(t)& =sin(wt)\cdot u(t)\\ in(s)& =\frac{w}{s^2+w^2}\\ Z& =\frac{1}{sC}+sL+R\\ out(s)& =in(s)\times \frac{R}{Z}\\ & =\frac{w}{s^2+w^2}\times \frac{R}{\frac{1}{sC}+sL+R}\\ & =\frac{1}{s^2+1}\times \frac{1}{\frac{1}{s}+s+1}\\ & =\frac{1}{s^2+1}\times \frac{s}{s^2+s+1}\\ out(t)& =sin(t)-\frac{2e^{\frac{-t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)}{\sqrt{3}},t\ge 0\end{array}$$

模擬結果

代入驗證

$$\begin{array}{rl}out(t)& =sin(t)-\frac{2e^{\frac{-t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)}{\sqrt{3}}\\ out(1.65)& =0.495917654\end{array}$$

Fourier Transform

只能用在穩態分析，原因未解中，希望知道的人可以告知

個人目前猜測

原因來自於只是 phasor domain 的延伸
畢竟 phasor 只是 Fourier series 的係數
而仔細去看 Second-order Circuit 的分析，會先假設解為 $e^{s^{\prime }t}$，然後求出 $s^{\prime }$
若將 $s^{\prime }=s=\sigma +jw$ 這不就是 laplace 轉換 (轉換其實就是得到其係數)
可以發現若要讓 $\sigma =0$，通常要讓串聯 $R=0$(short) 或讓並聯 $R=\mathrm{\infty }$(open)
這是因為穩定後 R 不再影響訊號頻率，只影響其大小
所以串聯電阻 short 表示不影響 C 的充放電，所以並聯電阻 open 表示不影響 L 的充放電
此時 $s=jw$，這不就是 fourier transform，所以才只能用在穩態分析

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[f(t)]& =F(w)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-jwt}dt\\ \\ {\mathcal{F}}^{-1}[F(w)]& =f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(w)e^{jwt}dw\end{array}$$

電路的 Fourier Transform

需注意原始轉換公式，不同領域有不同的 $a,b$
Table of Fourier Transform Pairs
Wiki 常用傅立葉變換表
Impedance 同 Phasor-domain 只是將概念延伸到非週性性，所以還是穩態分析

元件	Time domain	frequency-domain	Impedance
$R$	$v(t)=Ri(t)$	$V(w)=RI(w)$	$\mathbf{Z}=R$
$L$	$v(t)=L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$	$V(w)=jwLI(w)$	$\mathbf{Z}=jwL$
$C$	$i(t)=C\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$	$V(w)=\frac{1}{jwC}I(w)$	$\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{1}}{jwC}$

範例

推導
反轉換可用 Online Transform 協助，但請務必確認參數 $a,b$，因每個領域用法不一樣

$$\begin{array}{rl}in(t)& =sin(wt)\cdot u(t)\\ Z& =\frac{1}{jwC}+jwL+R\\ out(w)& =in(w)\times \frac{R}{Z}\\ & =in(w)\times \frac{R}{\frac{1}{jwC}+jwL+R}\\ & =in(w)\times \frac{1}{\frac{1}{j}+j+1}\\ & =in(w)\times \frac{1}{-j+j+1}\\ & =in(w)\\ out(t)& =in(t)=sin(wt)\cdot u(t)\\ \because w& =1\therefore out(t)=sin(t)\cdot u(t)\end{array}$$

模擬結果

代入驗證
因只能使用在穩態分析，故暫態不符合

$$\begin{array}{rl}out(t)& =sin(t)\cdot u(t)\\ out(1.65)& =0.996865\ne 0.496\end{array}$$

參考

Alexander & Sadiku, “Fundamentals of Electric Circuits, Second Edition”, McGraw-Hill, New York, NY, 2004.
拉普拉斯變換
Laplace Transforms and s-Domain Circuit Analysis
傅立葉變換