[Circuit] 電路暫態分析

電路知識：電路暫態分析
工具：Qucs
Online Transform

功能：分析電路的暫態

Laplace Transform

$$ \begin{align*} s&=\sigma +jw \\ \mathfrak{L} [f(t)]&=F(s)=\int_{0^- }^{\infty }f(t)e^{-st}dt \\ \\ \sigma _1 &> \sigma _c \\ \mathfrak{L} ^{-1} [F(s)]&=f(t)=\frac{1}{2 \pi j}\int_{\sigma _1 - j\infty }^{\sigma _1 + j\infty }F(s)e^{st}ds \end{align*} $$

電路的 Laplace Transform

性質和定理
拉普拉斯變換簡表

元件	Time domain	s-domain	Impedance (初始值為 0)
\(R\)	\(v(t)=Ri(t)\)	\(V(s)=RI(s)\)	\(\mathbf{Z}=R\)
\(L\)	\(v(t)=L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}\)	\(V(s)=sLI(s)-Li(0^-)\)	\(\mathbf{Z}=sL\)
\(C\)	\(i(t)=C\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}\)	\(V(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{v(0^-)}{s}\)	\(\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{1}}{sC}\)

電路表示如下

範例

假設初始值皆為 0

推導
反轉換可用 Online Transform 協助

$$ \begin{align*} in(t) &= sin(wt)\cdot u(t)\\ in(s) &= \frac{w}{s^2+w^2}\\ Z &= \frac{1}{sC}+sL+R\\ out(s) &= in(s)\times \frac{R}{Z}\\ &= \frac{w}{s^2+w^2} \times \frac{R}{\frac{1}{sC}+sL+R}\\ &= \frac{1}{s^2+1} \times \frac{1}{\frac{1}{s}+s+1}\\ &= \frac{1}{s^2+1} \times \frac{s}{s^2+s+1}\\ out(t) &= sin(t)-\frac{2e^{\frac{-t}{2}}sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}t \right )}{\sqrt{3}},\ t\geq 0 \end{align*} $$

模擬結果

代入驗證

$$ \begin{align*} out(t) &= sin(t)-\frac{2e^{\frac{-t}{2}}sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}t \right )}{\sqrt{3}}\\ out(1.65)&=0.495917654 \end{align*} $$

Fourier Transform

只能用在穩態分析，原因未解中，希望知道的人可以告知

個人目前猜測

原因來自於只是 phasor domain 的延伸
畢竟 phasor 只是 Fourier series 的係數
而仔細去看 Second-order Circuit 的分析，會先假設解為 \(e^{s't}\)，然後求出 \(s'\)
若將 \(s'=s=\sigma +jw\) 這不就是 laplace 轉換 (轉換其實就是得到其係數)
可以發現若要讓 \(\sigma=0\)，通常要讓串聯 \(R=0\)(short) 或讓並聯 \(R=\infty\)(open)
這是因為穩定後 R 不再影響訊號頻率，只影響其大小
所以串聯電阻 short 表示不影響 C 的充放電，所以並聯電阻 open 表示不影響 L 的充放電
此時 \(s=jw\)，這不就是 fourier transform，所以才只能用在穩態分析

\begin{align*} \mathcal{F} [f(t)]&=F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt \\ \\ \mathcal{F} ^{-1} [F(w)]&=f(t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{jwt}dw \end{align*}

電路的 Fourier Transform

需注意原始轉換公式，不同領域有不同的 \(a,b\)
Table of Fourier Transform Pairs
Wiki 常用傅立葉變換表
Impedance 同 Phasor-domain 只是將概念延伸到非週性性，所以還是穩態分析

元件	Time domain	frequency-domain	Impedance
\(R\)	\(v(t)=Ri(t)\)	\(V(w)=RI(w)\)	\(\mathbf{Z}=R\)
\(L\)	\(v(t)=L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}\)	\(V(w)=jwLI(w)\)	\(\mathbf{Z}=jwL\)
\(C\)	\(i(t)=C\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}\)	\(V(w)=\frac{1}{jwC}I(w)\)	\(\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{1}}{jwC}\)

範例

推導
反轉換可用 Online Transform 協助，但請務必確認參數 \(a,b\)，因每個領域用法不一樣

$$ \begin{align*} in(t) &= sin(wt)\cdot u(t)\\ Z &= \frac{1}{jwC}+jwL+R\\ out(w) &= in(w)\times \frac{R}{Z}\\ &= in(w) \times \frac{R}{\frac{1}{jwC}+jwL+R}\\ &= in(w) \times \frac{1}{\frac{1}{j}+j+1}\\ &= in(w) \times \frac{1}{-j+j+1}\\ &= in(w)\\ out(t) &= in(t)= sin(wt)\cdot u(t)\\ \because w&=1\ \therefore out(t)= sin(t)\cdot u(t)\\ \end{align*} $$

模擬結果

代入驗證
因只能使用在穩態分析，故暫態不符合

$$ \begin{align*} out(t) &= sin(t)\cdot u(t)\\ out(1.65)&=0.996865 \neq 0.496 \end{align*} $$

參考

Alexander & Sadiku, “Fundamentals of Electric Circuits, Second Edition”, McGraw-Hill, New York, NY, 2004.
拉普拉斯變換
Laplace Transforms and s-Domain Circuit Analysis
傅立葉變換